北京大学1998概率统计与线性规划

北京大学1998概率统计与线性规划试题

一、（10分）设A、B是两个随机事件，发生概率均不为0。试给出A、B互不相容和相互独立的定义，并说明这两个概念的关系。
二、（10分）设甲、乙二船在24小时内任何时刻进港都是等可能的。甲船装卸作业时间为3小时，乙船作业时间为2小时。受港口设备限制，两船不能同时作业，试求甲乙二船到港后可立即作业而不需等待的概率。
三、（10分）设离散型随机向量（X，Y）的联合分布如下：
　
XY －1 0 1
0 0.1 0 0.1
1 0.1 0.2 0
2 0.2 0.1 0.2
　
试求：1、P（X+Y<1）
2、P（X－Y＞－2）
3、P（X＋Y＜1/X－Y＞－2）
四、（10分）设二维随机向量（X，Y）的密度为

试求Z＝X＋Y的密度。
五、（10分）已知n对样本（xi,yi）i=1、2、…、n的样本相关系数为 ,。设

a,b,c,d常数，b,d不为0。将（xi,yi）代入（1）式得到n对样本（zi, Wi），其样本相关系数为 。试证： 的平方＝ 的平方。
六、（10分）随机变量X遵从t(n)分布，试证明X遵从F(1,n)分布。说明这个结果对查概率分布表有何意义。
七、（10分）袋中混装黑白球共4只，不知何种颜色的球多，但知其比例为3：1 。现从中有放回地抽取3只做检验：
　
1. 试给出“白球多”的拒绝域和接受域。（α＝0.20）
　
　
2. 对上述拒绝域和接受域，分别求出犯第一、第二类错误的概率。
　
八、（30分）线性规划的目标函数是Max　Z，用单纯型法解的过程中，得到下表（其中u为一常数，部分数据有缺失。）
　　　　　C 4 6 5 0 0 0
Cb Xb b X1 X2 X3 X4 X5 X6
* X4 14 1 * -2 1 0 *
* X2 25 * 1 u * 1/2 *
* X6 12 6 * -1 * -2 1
Cj-Zj 　 * -2 * * * * *
(1)（2分）在答题纸上做表，并填上表中所有以＊表示的缺失的数。
（2）（2分）写出表中给出的基解及相应的目标函数值。
（3）（8分）对于以下几种情况，讨论u的取值范围：
　
A. 表中的基解是最优解。
　
　
B. 表中的基解是最优解，同时，此线性规划有无穷多穷。
　
　
C. 此线性规划有无界解。
　
　
D. 表中的基解不是最优解。
　
（4）（6分）对（3）中的情况B，求出此线性规划的另一个最优基解；表示出它的所有的最优解。
（5）（4分）设u=1,X4,X5,X6为松弛变量，请求出此线性规划的所有约束为不等式的初始模型。
（6）（4分）写出（5）中的线性规划的对偶规划。
（7）（4分）利用对偶规划的性质求此对偶规划的解。